Code linéaire - Math'φsics

Code linéaire

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Code linéaire \(\mathcal C\)
Code qui forme un Sous-espace vectoriel de dimension \(k\) dans \(\Bbb F^n_q\) :$$\forall\underline a,\underline a^\prime\in\mathcal C,\forall\lambda,\mu\in\Bbb F_q,\qquad \lambda\underline a+\mu\underline a^\prime\in\mathcal C$$
- pour un code binaire, il suffit de montrer que que la somme de deux mots-code est encore un mot-code
- la Distance minimale d'un code linéaire est égale au Poids minimal d'un mot non nul
- \(d(\mathcal C)\leqslant\) \(n-k+1\)
Exercices

La seule chose qui peut changer est la Distance minimale, qui ne change pas puisque la permutation ne change pas les Poids.

Puisque la matrice est de rang \(k\), on peut faire une permutation pour mettre \(k\) vecteurs indépendants au début.

Les \(k\) premières colonnes sont indépendantes, donc le code est systématique.

La Matrice génératrice est la même, avec le bit de parité ajouté en fin de ligne.

Donner les dimensions et le rang de la Matrice de contrôle.

De plus, elle doit vérifier une certaine relation avec la Matrice génératrice.

En explicitant une formule par blocs de cette matrice, on peut déterminer à partir de cette relation chaque composante.

On doit changer la longueur des mots-code, mais pas leur nombre ou leur distance minimale \(\to\) ajouter des \(0\) fonctionne.

On veut changer le nombre de mots-code, mais pas leur distance minimale \(\to\) supprimer les mots-code avec le plus de \(1\) fonctionne.

Il faut enlever les colonnes qui contiennent le plus de \(1\).

L'espace généré n'a plus la même taille.

'information
Rétroliens :